今日は特に数学関連のことせずにずっとベース弾いてたので過去の研究もどきを供養しようと思う。
まずタイトルの「森博嗣ビリヤード問題」の説明から。ミステリー作家森博嗣が著作「笑わない数学者」内で出てきた算数．数学の問題を一般化したものである。
元の小説からモデルになったクイズを引用すると『五つのビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングにつなげてみるとしよう。玉には、それぞれナンバが書かれている。さて、この五つの玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。一つでも、二つでも、五つ全部でもいい。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、1から21までのすべての数ができるようにしたい。さあ、どのナンバの玉を、どのように並べて、ネックレスを作れば良いかな？』
小説内で答えは明らかにされていないが主人公が解けた描写があり、実際に地道に考えるとそのクイズの解は判明する。また、まだちゃんと読み返せてないため確認しきれていないが、五つ以外の場合でも当てはまるのか小説内で言及されているらしい(ネットで閲覧したブログより)。
五つの場合に足し合わせてつくる１から21の21という数字は五つの玉をリング状にした際、隣同士にして取りだせる組み合わせの数である。(玉を一つずつ選び取るには5通り、隣同士で二つずつ選び取るのも5通り、三つ、四つずつも同じく5通りあり、最後五つ全ての玉を選び取るのに一通りとなるので 5×4+1=21)。なので１から21までの数字がそれぞれ21通りの組合せと対になっており、1つの数字が複数の組み合わせの取り出し方で表されることはない。
私なりにN個の玉で一般化するとこうなる。
『N個の玉をリング状に繋げる。玉にはそれぞれナンバ（自然数）が書かれている。一つでも二つでもN個全てでもいいが幾つ取ってもいいが隣り同士連続したものしか取れないとする。この条件で取った玉のナンバを足し合わせて１から｛N（N-1）+1}までの数字ができるようにするにはどのようなナンバの数をどのように並べればよいか。またNがどのような数のときでもそのようなリングはできるのか。不可能ならその理由は何か。』
…後半ちょっと馬鹿っぽくなった。で、今まで答え知りたさに様々な数学愛好家達のブログを漁ってきたが中々具体的な答えや考え方まではたどり着けなかった。そのためヒーヒー言いながらN=8まで計算したので備忘録で書いておく。
N=3 （1、2、4）
N=4 （1、3、2、7）
N=5 （1、5、2、10、3）
N=6 （1、2、7、4、12、5）、（1、3、2、7、8、10）、（1、14、5、2、6、3）
N=7 解なし？
N=8 （1、2、10、9、7、4、11、5）
ミスに気づいたら修正する。ゲーム理論が関係してるとか他の考察ブログでは読んだなぁ…。
追記 ゲーム理論でなく符号理論でした
籠り部屋 